Višekubitna stanja

Zašto samo jedan kubit do sada?¶

Videli smo do sada šta sve jedan kubit podrazumeva. Na jednom kubitu gradimo intuiciju i tehničke alate koji su na potrebni kasnije u slučaju višekubita. Treba napomenuti da neki od intuitivnih stvari poput Blohove sfere ne može da se iskoristi u sistemima višekubita.

Ono gde zapravo kvantni računari su od koristi jeste slučaj kad ih je više i kad oni mogu da deluju jedan na drugog i podležu kvantnim kapijama ne-lokalnog dejstvar (dva, tri i itd kvantne kapije). Svi kvantni algoritmi uključuju više od jednog kubita.

Treba isto navesti nedavni primer korisnosti jednog kubit sistema u procesuiranju klasičnih signala:

• https://ishaan-kannan.github.io/blog/2026/08/17/bringing-quantum-advantage-to-todays-classical-world/

• sa pratećim radom na https://arxiv.org/pdf/2608.13521

Što govori da već ovo što smo do sad obradili može biti osnova naučnog delovanja u odgovarajućem kontekstu.

Višekubitna računska baza¶

Registar od $N$ kubita živi u prostoru dimenzije $2^N$, sa računskom bazom

Gde koristimo operaciju tenzorskog proizvod $\otimes$. Šta precizno tenzorski proizvod između dva vektora ili dve matrice čini možemo videti kroz račun ispod.

Prikaži račun (klik)

Koristeći Python takvu operaciju možemo koristiti na sledeći način:

import numpy as np

# Primer 1: tenzorski proizvod vektora |0> i |1>
ket0 = np.array([1, 0])
ket1 = np.array([0, 1])
vektor = np.kron(ket0, ket1)
print("|0> ⊗ |1> =", vektor)          # [0 1 0 0]
print("oblik vektora:", vektor.shape)  # (4,)

# Primer 2: tenzorski proizvod dve matrice
X = np.array([[0, 1], [1, 0]])
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]])
matrica = np.kron(X, Z)
print("X ⊗ Z =\n", matrica)
print("oblik matrice:", matrica.shape)  # (4, 4)

Koliko memorije treba za $N$ kubita?¶

Iz gornjih primera vidimo ključnu osobinu tenzorskog proizvoda: on množi, a ne sabira dimenzije. Jedan kubit živi u prostoru dimenzije 2; kad dodamo još jedan, dimenzija ne postaje $2+2=4$ nego $2\times 2 = 4$. Svaki novi kubit udvostručuje broj koeficijenata (amplituda) koje moramo da pamtimo, pa broj brojeva raste kao

Odatle sledi da za registar od $N$ kubita treba:

• vektor stanja sa $2^{N}$ kompleksnih amplituda (jedan broj po baznom stanju), i

• operator/matricu (npr. kvantnu kapiju na svih $N$ kubita) sa $2^{N}\times 2^{N} = 4^{N}$ kompleksnih elemenata.

Dodavanje jednog kubita udvostručuje dužinu vektora, a učetvorostručuje broj elemenata matrice. To je suština „eksponencijalnog zida": pomak od $N$ do $N+10$ kubita znači $2^{10}\approx 1000$ puta veći vektor i $4^{10}\approx 10^6$ puta veću matricu.

U numeričkim simulacijama kompleksnu amplitudu čuvamo kao par realnih brojeva (realni i imaginarni deo):

• jednostruka preciznost (dva float32): $2\times 4 = 8$ bajtova po amplitudi,

• dvostruka preciznost (dva float64): $2\times 8 = 16$ bajtova po amplitudi.

Potrebna memorija je onda prosto broj elemenata puta broj bajtova po elementu:

Sledeća tabela daje memoriju potrebnu za čuvanje jednog vektora stanja od $N$ kubita (koristimo binarne jedinice: $1\,\text{KiB}=1024$ B, $1\,\text{MiB}=1024$ KiB, itd.):

Za matricu ($2^N\times 2^N$ elemenata) je slika još drastičnija — ona „potroši" istu memoriju kao vektor sa dvostruko više kubita, jer $4^N = 2^{2N}$:

Nekoliko orijentira da brojevi dobiju smisao:

• tipičan laptop sa $16\,\text{GiB}$ RAM-a u dvostrukoj preciznosti staje do otprilike $N \approx 30$ kubita za sam vektor stanja (a u praksi manje, jer i sistem i međurezultati troše memoriju),

• već oko $N \approx 45$–50 kubita ulazimo u domen najjačih svetskih superračunara, gde vektor meri stotine terabajta do petabajta.

• kod $N = 300$ kubita broj amplituda 2³⁰⁰ premašuje procenjeni broj atoma u vidljivom svemiru, tj. takvo stanje je nemoguće ispisati, a kamoli sačuvati, ni na jednom klasičnom računaru

Opšte stanje je superpozicija svih $2^N$ baznih stanja,

gde $\mathbf{x} = b_1 b_2 \cdots b_N$ prolazi kroz svih $2^N$ mogućih binarnih bitova sastavljenih od 0 i 1.

Eksplicitno:

• $N = 2$

• $N = 3$

gde je indeks uz svaku amplitudu prosto bitska niska pročitana kao binarni broj (npr. $a_5$ stoji uz $\ket{101}$ jer je $101_2 = 5$, računato od nule).

U Pythonu bitsku zapis u ceo broj (indeks) prevodimo jednom linijom pomoću ugrađene funkcije int(string, 2):

print(int("101", 2))    # 5
print(int("000", 2))    # 0
print(int("111", 2))    # 7

Dodatni indeksi¶

U literatura nekada indeksi koji su povezani sa kubitima su zapisani. Na primer za prethodno stanje koje smo definisali možemo napisati

Ovakav zapis nekad možda izgleda previše, ali u nekim situacijama je bitno pratiti redosled i indekse u računici.

Indeksiranje: bitski string kao redni broj¶

Kada stanje čuvamo kao vektor u $\mathbb{C}^{2^N}$, moramo znati koja komponenta odgovara kojoj bitskom stringu. Konvencija je jednostavna: string $b_1 b_2 \cdots b_N$ pročitamo kao binarni broj, i to je redni broj (indeks) odgovarajuće komponente,

Tako $\ket{000}$ ide na indeks 0, a $\ket{111}$ na indeks 7. Baš zato je $\ket{b_1\cdots b_N}$ uvek jedan jedinični vektor standardne baze — ima jednu jedinicu na mestu $i$, a nule svuda drugde.

import numpy as np
ket0 = np.array([1, 0], dtype=complex)
ket1 = np.array([0, 1], dtype=complex)

psi = np.kron(np.kron(ket1, ket0), ket1)      # |1> ⊗ |0> ⊗ |1>
print("indeks 101 =", int("101", 2))          # 5
print("|101> == e_5 ? ", np.allclose(psi, np.eye(8)[5]))